DERIVADA DE UNA FUNCION

DEFINICION

CALCULO DIFERENCIAL

Lo fundamental del calculo diferencial que sirve para anlizar el cambio de las cosas.

DERIVADA

-La derivada de una funcion es otra función que permite reemplazar puntos en una función y saber cual es la recta tangente a dicho punto sobre la función original.

-En la derivada se corta la función en un solo punto para mirar su inclinación y de tal modo atraviese la funcion y quede un solo punto para cortar la distancia y asi obtener una deriva

-Al hablar de una derivada hablamos de otra cosa que no sea la pendiente de la recta tangente a un punto de una función .

- RECTA TANGENTE

Es una recta corta en un punto de una función.

-El punto equivale a la pendiente de la recta tangente

(la grafica de la función esta dibujada en negro , y la tangente a la curva en rojo)

- RECTA SECANTE

Es una recta que hace dos puntos

PENDIENTE

-Cuando la a ltura cambia respecto a la distancia horizontal de corremos.

-la pendiente es cuando se aproxima a cero.

EJEMPLO DE RAZONES DE CAMBIO

-El ritmo de volumen de un globo respecto al area de superficie.

-El ritmo de cambio de precio de una pizza con respecto a su tamaño.

-Un veiculo con aceleracion constante de 3600km/h significa que cada segundo nuestra velocidad aumenta un kilometro por hora.Nuestra funcion aceleracion sera f(x)=3600x.en el primer segmento nuestra velocidad es de 1km/h en el primer minuto sera de 60km/h y asi sucesivamente.

AUTORES REPRECENTATIVOS

Galileo Galilei, Fermat ,Rene descartes

FERMAT

Fue el primero en calcular la tangente a la grafica de la función el punto de abscisa x0 y fue fermat el primero que aporto la idea a l tratar de buscar los maximos y minimos de algunas funciones.

-Ferman buscaba aquellos puntos en los donde las tangentes fueran horizontales.

REFUERZO LUISA BUSTAMANTE 11-B

CaLcUlO

En general el termino cálculo (del latín calculus = piedra)^[1] hace referencia, indistintamente, a la acción o el resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.


ImPoRtAnCiA DeL CaLcUlO

Las dos acepciones del cálculo (la general y la restringida) arriba definidas están íntimamente ligadas. El cálculo es una actividad natural y primordial en el hombre, que comienza en el mismo momento en que empieza a relacionar unas cosas con otras en un pensamiento o discurso. El cálculo lógico natural como razonamiento es el primer cálculo elemental del ser humano. El cálculo en sentido lógico-matemático aparece cuando se toma conciencia de esta capacidad de razonar y trata de formalizarse.

ISAAC NEWTON

IsAaC NeWtOn

(4 de enero, 1643 NS – 31 de marzo, 1727 NS) fue un físico, filósofo, inventor, alquimista y matemático inglés, autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica, más conocidos como los Principia, donde describió la ley de gravitación universal y estableció las bases de la Mecánica Clásica mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros descubrimientos científicos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y la óptica (que se presentan principalmente en el Opticks) y el desarrollo del cálculo matemático.

Newton fue el primero en demostrar que las leyes naturales que gobiernan el movimiento en la Tierra y las que gobiernan el movimiento de los cuerpos celestes son las mismas. Es, a menudo, calificado como el científico más grande de todos los tiempos, y su obra como la culminación de la Revolución científica.

Entre sus hallazgos científicos se encuentran los siguientes: el descubrimiento de que el espectro de color que se observa cuando la luz blanca pasa por un prisma es inherente a esa luz, en lugar de provenir del prisma (como había sido postulado por Roger Bacon en el siglo XIII); su argumentación sobre la posibilidad de que la luz estuviera compuesta por partículas; su desarrollo de una ley de conducción térmica, que describe la tasa de enfriamiento de los objetos expuestos al aire; sus estudios sobre la velocidad del sonido en el aire; y su propuesta de una teoría sobre el origen de las estrellas.

Newton comparte con Leibniz el crédito por el desarrollo del cálculo integral y diferencial, que utilizó para formular sus leyes de la física. También contribuyó en otras áreas de la matemática, desarrollando el teorema del binomio. El matemático y físico matemático Joseph Louis Lagrange (1736–1813), dijo que "Newton fue el más grande genio que ha existido y también el más afortunado dado que sólo se puede encontrar una vez un sistema que rija el mundo."

Desarrollo del Cálculo

De 1667 a 1669 emprendió investigaciones sobre óptica y fue elegido fellow del Trinity College. En 1669 su mentor, Isaac Barrow, renunció a su Cátedra Lucasiana de matemática, puesto en el que Newton le sucedería hasta 1696. El mismo año envió a John Collins, por medio de Barrow, su "Analysis per aequationes número terminorum infinitos". Para Newton, este manuscrito representa la introducción a un potente método general, que desarrollaría más tarde: su cálculo diferencial e integral.

Newton había descubierto los principios de su cálculo diferencial e integral hacia 1665-1666 y, durante el decenio siguiente, elaboró al menos tres enfoques diferentes de su nuevo análisis.

Newton y Leibniz protagonizaron una agria polémica sobre la autoría del desarrollo de esta rama de la matemática. Los historiadores de la ciencia consideran que ambos desarrollaron el cálculo independientemente, si bien la notación de Leibniz era mejor y la formulación de Newton se aplicaba mejor a problemas prácticos. La polémica dividió aún más a los matemáticos británicos y continentales, sin embargo esta separación no fue tan profunda como para que Newton y Leibniz dejaran de intercambiar resultados.

Newton abordó el desarrollo del cálculo a partir de la geometría analítica desarrollando un enfoque geométrico y analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas definidas a través de ecuaciones. Newton también buscaba cómo cuadrar distintas curvas, y la relación entre la cuadratura y la teoría de tangentes. Después de los estudios de Roberval, Newton se percató de que el método de tangentes podía utilizarse para obtener las velocidades instantáneas de una trayectoria conocida. En sus primeras investigaciones Newton lidia únicamente con problemas geométricos, como encontrar tangentes, curvaturas y áreas utilizando como base matemática la Geometría Analítica de Descartes. No obstante, con el afán de separar su teoría de la de Descartes, comenzó a trabajar únicamente con las ecuaciones y sus variables sin necesidad de recurrir al sistema cartesiano.

Después de 1666 Newton abandonó sus trabajos matemáticos sintiéndose interesado cada vez más por el estudio de la naturaleza y la creación de sus Principia.

LIMITES

LiMiTeS

Es el comportamiento de una funcion cuando la variable independiente se aproxima a cierto valor P.

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

Definición rigurosa

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a p , y se escribe

si se puede encontrar un x suficientemente cerca de p tal que el valor de f(x) sea próximo a L.

Esta definición se denomina frecuentemente definición de límite, y se lee como:

"El límite de la función f(x), cuando x tiende a p, es L".

Ejemplo:

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en el entorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la función f (x):

x	f (x)	Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda como por la derecha, tomando valores menores o mayores que 2, f (x) se aproxima, tiende, cada vez más a 3; y cuanto más cerca está x de 2, o lo que es lo mismo, cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es más pequeña asimismo la diferencia, en valor absoluto, entre f (x) y 3 se hace cada vez más pequeña. (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior derecha). Osea, la función se acerca a un valor constante, 3, cuando la variable independiente se aproxima también a un valor constante.
1.9 1.99 1.999 1.9999 2.0001 2.001 2.01 2.1	2.61 2.9601 2.996001 2.99960001 3.00040001 3.004001 3.0401 3.41

	|x - 2|	| f (x) - 3|
	|1.9-2| = 0.1 |1.99-2| = 0.01 |1.999-2| = 0.001 |1.9999-2| = 0.0001 |2.0001-2| = 0.0001 |2.001-2| = 0.001 |2.01-2| = 0.01 |2.1-2| = 0.1	|2.61-3| = 0.39 |2.9601-3| = 0.0399 |2.996001-3| = 0.003999 |2.99960001-3| = 0.00039999 |3.00040001-3| = 0.00040001 |3.004001-3| = 0.004001 |3.0401-3| = 0.0401 |3.41-3| = 0.41

De lo anterior se deduce intuitivamente que el límite de la función f (x) cuando x tiende a 2, es 3.